我们在讨论城市发展时，总是离不开人口、住房、GDP、科技、城市公共服务等词汇。那么，从学理上如何测算这些要素的合理性呢？这篇专栏想从城市标度律出发，讲讲其中的变与不变。

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一、从标度不变性说起

标度的英文单词是Scale，即规模或者缩放的意思，标度不变性（Scale-invariance），即经过缩放之后仍然保持不变，那有什么东西经过缩放之后仍然保持不变呢？比如，我们可以打开手机上的地图APP，随着我们缩放地图上的某个区域，唯一变化的只有地图边上的比例尺，地图的内容并没有变化，区域的面积、周长、两个地点之间的距离、建筑物高度这些指标都不会发生变化。地图的尺度随着比例尺的变化而变化，但是有些特征指标并不随着比例尺的缩放而改变，复杂系统中把这种具有缩放不变性的特征称为标度不变性。

当然，缩放只是一种变换方式，类似的变换还有对称、旋转等，但凡经历变换之后保持不变的特征我们都称为标度不变性。生活中的标度不变性例子其实很多，最简单的就是圆周率π，很早之前，人们就发现无论一个圆怎么缩放、对称、旋转，圆的周长始终是直径的3.14倍左右。因此，圆周率就是一个典型的标度不变性的例子。

有了标度不变性这个概念，城市学者们就在思考，既然城市就是一个复杂系统，那么城市中的哪些标度不会随着城市规模大小变化而变化呢。寻找这样的变量不仅对于理解城市的特征和规律非常重要，而且能让城市规划和决策找到重要依据。试想一下，如果我们已经知道城市或区域人口与该区域道路的总长度之间的比值是一个标度不变量。那么，只需要统计一个城市的人口，就会知道一个城市应该设计多长的道路；统计一个区、一个街道的人口，就会知道区和街道应该设计多长的道路，如此一来，城市决策不仅科学而且简单。但是要知道，城市作为一个复杂系统，不仅具有自然系统的复杂性（如气候、地理等变量），还兼具人文系统的不确定性（如GDP，人口等）。因此，寻找城市中具有变换不变性的标度并非一个简单的过程，城市科学研究者把具有这样的城市标度规律统称为城市标度律。

二、城市中哪些变量具有标度律？

首先，城市中任何跟规模相关的变量，比如人口、面积、GDP、用电量这些变量都不可能具有标度不变性。因为城市变化了，这些规模变量也就随之变化了。因此，最有可能具有的标度律应该是一些比例关系。在第一期的“解释城市”栏目中，笔者介绍过城市齐普夫法则，他其实就是一种标度不变性的例子，他描述的是不同城市的人口位次与人口规模的对数比例是一个近似为1的比例。在此之后，人们陆续探索城市中的各种变量与人口规模的关系，发现，除了人口位次，一个国家中城市的GDP、专利数、住房量、加油站数量等众多变量，经过一定的调整，与人口规模之间的比例都是一个固定常数，但是这个常数却各不相同。比如，欧洲各城市的GDP经过简单的调整（取对数再减一个常数），与城市人口规模的对数之间的比例似乎总是1.25，中国一定年份城市的GDP调整后，与城市人口对数的比例总是1.15；美国城市的新申请专利数量调整后，总是城市人口对数的1.27倍，等等。

讲到这里，如果仅仅是寻找标度，似乎变得简单而又枯燥。城市是个多源数据发生地，只需要把城市中的各大变量都检验一遍，算一下相互可能存在的比例关系，就可以判定是否是标度不变了。但在2007年，事情迎来了转机，起因是洛斯·阿拉莫斯国家试验室理论研究部的路易斯·贝当古（Luis Bettencourt，现在是芝加哥大学Mansueto城市创新研究所的主任）与被誉为标度学之父，同时也是畅销书《规模》作者的杰弗里•韦斯特(Geoffrey West)合作，在《美国科学院院报》（Proceedings of the National Academy of Sciences）发表了一篇文章《城市中的增长、创新、规模与生活节奏》（Growth, innovation, scaling, and the pace of life in cities），在这篇文章中，他们做了一个总结性工作。他们把已经发现的具有标度不变特征的这些比例系数从大到小排列了一下（如表1），发现了一个相当有意思的结论：只要是那些与社会经济相关的变量（如专利、GDP等），标度系数总是会大于1；只要是与人类基本需求相关的变量（如住房、用电、用水），标度系数几乎就是1；只要是与城市基础设施相关的变量（如道路、加油站、光缆长度），标度系数显著小于1。这个标度系数其实暗含了与城市人口规模变化的关系，人口规模变化，乘上这个变量特有的系数，就会得到还原到变量上，不同系数代表了城市生长速度不一样，因此，被称为城市的异速生长规则（Allometry law）。

现在我们知道，异速生长规则就是城市标度律的一种，主要是城市中一些变量调整后与城市人口规模（取对数）的比例关系（这里的比例系数、标度系数、异速生长系数就是一回事）。

表1 一些变量及其标度系数

数据来源：《城市中的增长、创新、规模与生活节奏》

三、为什么会有城市异速生长规则

再次回顾上面的异速生长系数，其实我们不难发现一个特征，这个系数其实代表了城市中哪些变量与人口之间有着“1+1是否等于2”的关系。比如，社会经济变量，存在典型的“众人拾柴火焰高”的现象（英文中称之为bigger city，more wealth），系数大于1，说明两个人合作创造的经济社会价值比每个人分别创造的要多（即1+1＞2）；与人类基本需求相关的变量，即民生变量，城市会朝着“居者有其屋”方向演变，系数约为1，说明两个人的总基本需求就是每个人的基本需求相加，即1+1＝2时最优；最后，基础设施变量，存在明显的共用性、非排他性，如同“报团取暖”（英文中称之为bigger cities do more with less），系数小于1，说明城市中一条道路可以满足1个人用，也能满足2个人用，1+1＜2时即可。

路易斯·贝当古等人对城市标度律的研究，打开了城市科学的大门，也逐步揭开了城市中变与不变的神秘面纱，城市背后繁华与颓败的真相也在慢慢被揭示。

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“解释城市”专栏由上海发展战略研究所戴跃华博士主持，关注城市科学发展的前沿趋势，解释城市科学以及城市中人类行为动力学的一般特征和规律，探究利用前沿城市科学理论优化城市治理的路径和方法。

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